Forme modulaire de Hilbert
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En mathématiques, une forme modulaire de Hilbert est une généralisation des formes modulaires aux fonctions de deux variables ou plus. C'est une fonction analytique sur le produit de m demi-plans supérieurs H {\displaystyle {\mathcal {H}}} satisfaisant un certain type d'équation fonctionnelle.
Contents
• Histoire
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Définition
Soit F un corps totalement réel de degré m sur le corps des rationnels. Soit σ σ 1 , … … , σ σ m {\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}} les plongements réels de F. On définit ainsi une application
G L 2 ( F ) → → G L 2 ( R ) m . {\displaystyle GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}.}
Soit O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} l'anneau des entiers de F. Le groupe G L 2 + ( O F ) {\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})} est appelé le groupe modulaire de Hilbert plein. Pour tout élément z = ( z 1 , … … , z m ) ∈ ∈ H m {\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{m})\in {\mathcal {H}}^{m}} , on dispose d'une action de groupe sur G L 2 + ( O F ) {\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})} définie par γ γ ⋅ ⋅ z = ( σ σ 1 ( γ γ ) z 1 , … … , σ σ m ( γ γ ) z m ) {\displaystyle \gamma \cdot z=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})} .
Pour
g = ( a b c d ) ∈ ∈ G L 2 ( R ) , {\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),}
on définit:
j ( g , z ) = det ( g ) − − 1 / 2 ( c z + d ) {\displaystyle j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)}
Une forme modulaire de Hilbert de poids ( k 1 , … … , k m ) {\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})} est une fonction analytique sur H m {\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}} telle que pour tout γ γ ∈ ∈ G L 2 + ( O F ) {\displaystyle \gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}
f ( γ γ z ) = ∏ ∏ i = 1 m j ( σ σ i ( γ γ ) , z i ) k i f ( z ) . {\displaystyle f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}
Contrairement au cas de forme modulaire, aucune condition supplémentaire n'est requise, en raison du principe de Koecher.[Information douteuse]
Histoire
Ces formes modulaires, pour des corps quadratiques réels, ont été traitées pour la première fois en 1901 dans l'Habilitationssschrift d'Otto Blumenthal (université de Göttingen). Il y mentionne que David Hilbert les avait envisagées initialement dans un travail de 1893-94, resté inédit. Le travail de Blumenthal a été publié en 1903. Pour cette raison, les formes modulaires de Hilbert sont souvent appelées formes modulaires de Hilbert-Blumenthal.
La théorie est restée en retrait pendant quelques décennies ; Erich Hecke y a fait appel dans ses premiers travaux, mais un intérêt majeur pour les formes modulaires de Hilbert attendait le développement de la théorie des variétés complexes.
Articles connexes
• Forme modulaire de Siegel
• Surface modulaire de Hilbert
Références
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hilbert modular form » (voir la liste des auteurs).
• Jan H. Bruinier : Formes modulaires de Hilbert et leurs applications.
• Paul B. Garrett : Formes modulaires holomorphes de Hilbert . Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, Californie, 1990. (ISBN 0-534-10344-8)
• Eberhard Freitag : Formes Modulaires Hilbert . Springer Verlag. (ISBN 0-387-50586-5)
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